Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} \cos (x) & - \sin (x) \\ \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Paso 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Paso 2

Find the determinant.

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Paso 2.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$\cos (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.2

Simplifica el determinante.

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Paso 2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1

Multiplica $\cos (x) \cos (x)$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.2.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.2.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (x)}^{1 + 1} - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.2.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) - \sin (x) (- \sin (x))$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

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Paso 2.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\cos^{2} (x) + 1 \sin (x) \sin (x)$

Paso 2.2.1.2.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin (x) \sin (x)$

Paso 2.2.1.2.3

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)$

Paso 2.2.1.2.4

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)$

Paso 2.2.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}$

Paso 2.2.1.2.6

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x)$

Paso 2.2.2

Reorganiza los términos.

$\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)$

Paso 2.2.3

Aplica la identidad pitagórica.

$1$

Paso 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Paso 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{1} [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Paso 5

Divide $1$ por $1$ .

$1 [\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$

Paso 6

Multiplica $1$ por cada elemento de la matriz.

$[\begin{array}{c} 1 \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Paso 7

Simplifica cada elemento de la matriz.

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Paso 7.1

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & 1 \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Paso 7.2

Multiplica $\sin (x)$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ 1 (- \sin (x)) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Paso 7.3

Multiplica $- \sin (x)$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & 1 \cos (x) \end{array}]$

Paso 7.4

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$[\begin{array}{c} \cos (x) & \sin (x) \\ - \sin (x) & \cos (x) \end{array}]$